1994 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设

f (x)

具有二阶连续导数，

f (0) = 0

，

f^{'} (0) = 1

，且

[x y (x + y) - f (x) y] d x + [f^{'} (x) + x^{2} y] d y = 0

为一全微分方程。

(1) 求 $f (x)$ ；
(2) 求此全微分方程的通解。

答案

第 1 问

$f (x) = x^{2} - 2 + 2 cos x + sin x$

第 2 问

$y (2 x - 2 sin x + cos x) + \frac{1}{2} x^{2} y^{2} = C$

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第 1 问

记 $M = x y (x + y) - f (x) y$ ， $N = f^{'} (x) + x^{2} y$ 。全微分条件 $M_{y} = N_{x}$ 给出 $x^{2} + 2 x y - f (x) = f^{''} (x) + 2 x y$ ，即 $f^{''} (x) + f (x) = x^{2}$ 。

该方程通解为 $f (x) = x^{2} - 2 + C_{1} cos x + C_{2} sin x$ 。由 $f (0) = 0$ 、 $f^{'} (0) = 1$ 得 $C_{1} = 2$ 、 $C_{2} = 1$ 。

故 $f (x) = x^{2} - 2 + 2 cos x + sin x$ 。

第 2 问

沿用第一问定义的 $M, N$ 及关系 $f^{''} = x^{2} - f$ 。由 $N = f^{'} (x) + x^{2} y$ 对 $y$ 积分，可取势函数 $U (x, y) = y f^{'} (x) + \frac{1}{2} x^{2} y^{2}$ 。其对 $x$ 的偏导借助 $f^{''} = x^{2} - f$ 恰等于 $M$ 。

所以通解为 $y f^{'} (x) + \frac{1}{2} x^{2} y^{2} = C$ 。代入 $f^{'} (x) = 2 x - 2 sin x + cos x$ ，得 $y (2 x - 2 sin x + cos x) + \frac{1}{2} x^{2} y^{2} = C$ 。