沿直线 $y=x$ 趋于原点时，$f(x,x)=\frac{1}{2}$，不趋于 $f(0,0)=0$，故函数在原点不连续。

但 $f(h,0)=f(0,h)=0$，所以 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，两个偏导数均存在。因此选 C。