令 $Z=Y-X$。由条件分布，给定 $X=x$ 时 $Z=Y-x\sim N(0,1)$，条件分布不依赖于 $x$。若 $\Phi ,\phi$ 分别是标准正态分布函数和密度，则

所以 $Z\sim N(0,1)$ 且与 $X$ 独立，$Y=X+Z$。由此

故 ${\rho }_{XY}=\frac{1}{\sqrt{1\cdot 2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，选 D。条件方差 $1$ 并不等于 $Y$ 的无条件方差。

由题设 $E(Y\mid X)=X$、$\mathrm{Var}(Y\mid X)=1$，重期望公式给出

所以 $\mathrm{Cov}(X,Y)=1$。再用全方差公式，

因此 ${\rho }_{XY}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。