1995 · 数学三 · 第 1 题 · 填空题

设

f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}

，则

f^{(n)} (x) =

。

答案

$\frac{2 ( - 1 ) ^{n} n !}{( 1 + x ) ^{n + 1}}$

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先将函数改写为 $f (x) = - 1 + \frac{2}{1 + x}$ 。

对 $(1 + x)^{- 1}$ 求 $n$ 阶导数，得 $\frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (1 + x)^{- 1} = (- 1)^{n} n! (1 + x)^{- n - 1}$ 。因此当 $n \geq 1$ 且 $x \neq = - 1$ 时，

f^{(n)} (x) = \frac{2 ( - 1 ) ^{n} n !}{( 1 + x ) ^{n + 1}} .