2009 · 数学二 · 第 16 题 · 解答题

令 $s = \frac{1 + x}{x}$ ，则 $s^{'} = - \frac{1}{2 s x ^{2}}$ 。分部积分得

I = x ln (1 + s) + \int \frac{d x}{2 s ( 1 + s ) x} .

利用 $s^{2} - 1 = \frac{1}{x}$ ，有 $\frac{1}{s ( 1 + s ) x} = 1 - \frac{1}{s}$ ，故

I = x ln (1 + s) + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{x + 1} d x .

又

\int \frac{x}{x + 1} d x = x (x + 1) - ln (x + x + 1) + C .

代回并吸收常数，得到

I = x ln (1 + \frac{1 + x}{x}) + \frac{x}{2} - \frac{x ( x + 1 )}{2} + \frac{1}{2} ln (x + x + 1) + C .

答案