两曲线的交点横坐标 $x_0$ 满足 $a{x}_0^2=1-x_0^2$，故 $x_0=\frac{1}{\sqrt{a+1}}$。原区域总面积为 ${\int }_0^1(1-x^2)\mathrm{d}x=\frac{2}{3}$。

两曲线在 $[0,x_0]$ 间所夹部分的面积为

该部分应为总面积的一半，即 $\frac{1}{3}$。于是 $\frac{2x_0}{3}=\frac{1}{3}$，得 $x_0=\frac{1}{2}$，进而 $a+1=4$，所以 $a=3$。