记 $A$ 为三次全部成功，$B$ 为至少成功一次。若 $p=0$，条件事件概率为零；若 $p=1$，所给条件概率为 $1$，均不合题意，故 $0<p<1$。
由独立重复试验，$P(A)=p^3$，$P(B)=1-(1-p{)}^3$。又 $A\subseteq B$，故

分母展开为 $p(p^2-3p+3)$。因为 $p>0$，可约去公因子，得

于是 $13p^2=4(p^2-3p+3)$，即 $3p^2+4p-4=0$。因式分解为 $(3p-2)(p+2)=0$，两根为 $\frac{2}{3},-2$，舍去不在概率范围内的 $-2$，得 $p=\frac{2}{3}$。
回代时全部成功概率为 $\frac{8}{27}$，至少成功一次概率为 $1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}$，比值为 $\frac{4}{13}$。分母对应“不是一次都失败”，不能误写成 $1-p^3$。