对函数 $g(x)={\mathrm{e}}^x$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使

令 $h(x)={\mathrm{e}}^{x}f(x)$。由题设，$h$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导。再次应用拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$，使

比较两式得 ${\mathrm{e}}^{\eta }[f(\eta )+f^{\prime }(\eta )]={\mathrm{e}}^{\xi }$，即 ${\mathrm{e}}^{\eta -\xi }[f(\eta )+f^{\prime }(\eta )]=1$。