（1）先换元整理积分。对左端令 $u=x-t$，则 $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$，积分限由 $t=0,x$ 变为 $u=x,0$，得到 ${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$。右端将 $x$ 提出积分号，因此原式成为

（2）逐次求导并读出初值。因 $f$ 连续，各变限积分均可导，第一次求导时两项 $xf(x)$ 抵消，得

令 $x=0$ 得 $f(0)=-1$。此式右端可导，从而 $f$ 可导；再次求导得 $f^{\prime }(x)-f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$。

（3）解线性方程。乘积分因子 ${\mathrm{e}}^{-x}$，得 $({\mathrm{e}}^{-x}f{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^{-2x}$。积分得 ${\mathrm{e}}^{-x}f=-\frac{{\mathrm{e}}^{-2x}}{2}+C$，故 $f=-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{2}+C{\mathrm{e}}^x$。由初值 $f(0)=-1$ 得 $C=-\frac{1}{2}$，所以 $f(x)=-\frac{({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})}{2}$。

（4）核对原积分方程，排除求导增解。此函数满足

第二式可由第一式再对上限积分得到，两式在零点均为零且导数符合相应关系。将第二式加上 ${\mathrm{e}}^{-x}-1$，恰等于第一式，因此原方程成立。