按期望积分公式并对指数配方，$2x-\frac{x^2}{2}=2-\frac{(x-2{)}^2}{2}$，故

后一个积分是 $N(2,1)$ 的期望，等于 $2$，故结果为 $2e^2$。也可令 $t=x-2$，积分变成 $\int (t+2)\phi (t)dt=0+2$；奇函数部分绝对可积，其积分为零。配方后保留常数因子 $e^2$ 是关键。

标准正态的矩母函数为 $M(t)=E(e^{tX})=e^{\frac{t^2}{2}}$，可由配方积分得到。在任意有界的 $t$ 区间 $|t|\le R$ 上，导数被积函数的绝对值被 $|x|e^{R|x|}\phi (x)$ 控制，后者可积，因此可以在积分号内求导，得到 $M^{\prime }(t)=E(X{e}^{tX})=t{e}^{\frac{t^2}{2}}$。取 $t=2$，得 $E(X{e}^{2X})=2e^2$。