1987 · 数学一 · 第 10 题 · 选择题

设常数

k > 0

，则级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{k + n}{n ^{2}}

（　　）。

答案

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原级数可拆为

k n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} + n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} .

第一项绝对收敛，第二项是收敛的交错调和级数，因此原级数收敛。

其绝对值项满足 $\frac{( k + n )}{n ^{2}} = \frac{1}{n} + \frac{k}{n ^{2}} \geq \frac{1}{n}$ ，故绝对值级数发散。因此原级数条件收敛，选择 C。