先证充分性。设 $A$ 的两个不同特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$，各取特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2$。不同特征值的特征向量线性无关，且每个特征空间都是一维。
由 $AB=BA$，对 $i=1,2$ 有

因此 $B{\xi }_i$ 仍在 $A$ 对应 ${\lambda }_i$ 的一维特征空间内，包括它等于零向量的情形。于是存在数 ${\mu }_i$，使 $B{\xi }_i={\mu }_i{\xi }_i$；若 $B{\xi }_i=0$，就是 ${\mu }_i=0$。
所以 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 也是 $B$ 的两个线性无关特征向量。令 $P=({\xi }_1,{\xi }_2)$，便有 $P^{-1}BP=\mathrm{diag}({\mu }_1,{\mu }_2)$，故 $B$ 可对角化。
必要性不成立。取 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=E$，显然 $AB=BA$，$B$ 本身是对角矩阵，但 $A$ 只有一个不同特征值 $1$。因此所给条件充分但不必要，选 B。