曲线在 $P=(x,y)$ 处的切线为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$，纵截距为 $y-x{y}^{\prime }$。因 $x>\mathrm{e}>0$，点到 $y$ 轴距离为 $x$，所以 $y-x{y}^{\prime }=x$。除以 $x$ 后得 $y^{\prime }-\frac{y}{x}=-1$，乘积分因子 $\frac{1}{x}$，即 $(\frac{y}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x}$。
积分得 $\frac{y}{x}=-\ln x+C$，故 $y=x(C-\ln x)$。曲线过 $({\mathrm{e}}^2,0)$，给出 $0={\mathrm{e}}^2(C-2)$，所以 $C=2$，得到 $y=x(2-\ln x)$。
核对：$y^{\prime }=1-\ln x$，于是 $y-x{y}^{\prime }=x$，且 $y({\mathrm{e}}^2)=0$，原条件均满足。

（1）取切点 $P=(x_0,y_0)$，其中 $x_0>\mathrm{e}$、$y_0=x_0(2-\ln x_0)$。切线斜率 $k=1-\ln x_0<0$，非零，所以与两坐标轴都相交。纵截距由第一问为 $b=y_0-k{x}_0=x_0>0$；令切线纵坐标为零，横截距为

因此三角形面积 $S(x_0)=\frac{ab}{2}=\frac{x_0^2}{[2(\ln x_0-1)]}$。
（2）求导得到

分母及 $x_0$ 均为正，故 $S^{\prime }$ 在 $(\mathrm{e},{\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}})$ 上为负，在 $({\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}},+\infty )$ 上为正，面积先减后增，在 $x_0={\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}}$ 处取得唯一全局最小值。
（3）此时 $y_0={\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}}(2-\frac{3}{2})=\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}}}{2}$，且 $S_{\min }=\frac{{\mathrm{e}}^3}{[2(\frac{3}{2}-1)]}={\mathrm{e}}^3$。所求点为 $({\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}},\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}}}{2})$。