函数在 $x=0$ 处未定义。由 $\frac{\tan x}{x}\to 1$，当 $x\to 0^{+}$ 时 ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\to +\infty$，从而

当 $x\to 0^{-}$ 时 ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\to 0$，从而

两个单侧极限均有限但不相等，所以 $x=0$ 是第一类间断点，对应选项为 A。