2016 · 数学二 · 第 3 题 · 选择题

反常积分①

\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x ^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x

，②

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x

的敛散性为（　　）。

A
①收敛，②收敛
B
①收敛，②发散
正确答案
C
①发散，②收敛
D
①发散，②发散

答案

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由 $d (\frac{1}{x}) = - \frac{d x}{x ^{2}}$ ，可得原函数 $\int x^{- 2} e^{\frac{1}{x}} d x = - e^{\frac{1}{x}} + C$ 。对积分①在 $- 1$ 处分开：

\int_{- \infty}^{- 1} \frac{e ^{\frac{1}{x}}}{x ^{2}} d x \int_{- 1}^{0} \frac{e ^{\frac{1}{x}}}{x ^{2}} d x = 1 - e^{- 1}, = e^{- 1} - x \to 0^{-} lim e^{\frac{1}{x}} = e^{- 1} .

两个端点的极限均有限，因此①收敛且等于 $1$ 。
对积分②，只考察零右侧就有 $\int_{δ}^{1} x^{- 2} e^{\frac{1}{x}} d x = e^{\frac{1}{δ}} - e \to + \infty$ （ $δ \to 0^{+}$ ），所以②发散，选 B。

作换元 $t = \frac{1}{x}$ ，则 $\frac{d x}{x ^{2}} = - d t$ 。分别按端点极限换元，①变为 $\int_{- \infty}^{0} e^{t} d t = 1$ ；②变为 $\int_{0}^{+ \infty} e^{t} d t$ ，发散。因此①收敛、②发散，选 B。