2011 · 数学三 · 第 8 题 · 选择题

设总体

X

服从参数为

λ > 0

的泊松分布，

X_{1}, \dots, X_{n}

（

n \geq 2

）为来自该总体的简单随机样本，

T_{1} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

，

T_{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n - 1 X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}

，则有（　　）。

答案

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泊松总体满足 $E (X_{i}) = D (X_{i}) = λ$ 。由期望的线性性，

E (T_{1}) = λ, E (T_{2}) = \frac{( n - 1 ) λ}{n - 1} + \frac{λ}{n} = λ + \frac{λ}{n} > λ .

由样本独立性，方差可相加，且系数需平方：

D (T_{1}) D (T_{2}) = \frac{nλ}{n ^{2}} = \frac{λ}{n}, = \frac{( n - 1 ) λ}{( n - 1 ) ^{2}} + \frac{λ}{n ^{2}} = \frac{λ}{n - 1} + \frac{λ}{n ^{2}} > \frac{λ}{n} .

最后的不等式使用 $n \geq 2$ 、 $λ > 0$ 。因此 $E (T_{1}) < E (T_{2})$ 且 $D (T_{1}) < D (T_{2})$ ，选 D。