正向取第一象限圆弧，令 $x=\sqrt{2}\cos t$，$y=\sqrt{2}\sin t$，其中 $0\le t\le \frac{\pi }{2}$。

此时 $\mathrm{d}x=-\sqrt{2}\sin t\mathrm{d}t$，$\mathrm{d}y=\sqrt{2}\cos t\mathrm{d}t$，所以 $x\mathrm{d}y-2y\mathrm{d}x=(2{\cos }^{2}t+4{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t$。

因此 $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2{\cos }^{2}t+4{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t=\frac{3\pi }{2}$。