2004 · 数学二 · 第 4 题 · 填空题

设函数

z = z (x, y)

由方程

z = e^{2 x - 3 z} + 2 y

确定，则

3 \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} =

。

答案

$2$

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记 $E = e^{2 x - 3 z}$ 。对方程 $z = E + 2 y$ 关于 $x$ 求偏导，得 $z_{x} = E (2 - 3 z_{x})$ ，即 $(1 + 3 E) z_{x} = 2 E$ 。

关于 $y$ 求偏导，得 $z_{y} = - 3 E z_{y} + 2$ ，即 $(1 + 3 E) z_{y} = 2$ 。

所以 $3 z_{x} + z_{y} = \frac{6 E + 2}{1 + 3 E} = 2$ 。由于 $E > 0$ ，上述分母不为零。