（1）取质量微元。细棒在线段 $-1\le x\le 1$ 上，线密度为 $1$，在 $(x,0)$ 处取长 $\mathrm{d}x$ 的微元，其质量为 $\mathrm{d}m=\mathrm{d}x$。微元与质点 $(0,1)$ 的距离为 $r=\sqrt{1+x^2}$，引力大小为 $\mathrm{d}F=\frac{Gm\mathrm{d}x}{(1+x^2)}$。

（2）分解引力。细棒微元对质点的引力由 $(0,1)$ 指向 $(x,0)$，单位方向向量为 $\frac{(x,-1)}{\sqrt{1+x^2}}$，因此

水平分量关于 $x$ 为奇函数，在对称区间 $[-1,1]$ 上积分为零；竖直分量均向下，其大小为偶函数，故合力大小为

故选 D，合力沿 $y$ 轴负向。若先计算质点对细棒的引力，由牛顿第三定律，其大小相同、方向相反。

（3）辨析选项。引力大小按距离平方反比计算，再乘竖直投影因子 $\frac{1}{r}$，分母为 $r^3=(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}$，因此 A、B 的幂次不对。C 中的 $x$ 对应水平投影，但左右水平分量互相抵消，不能将半边的大小乘以 $2$ 作为合力。

（4）计算积分核对。令 $x=\tan t$，则 $\mathrm{d}x={\sec }^{2}t\mathrm{d}t$，当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi }{4}$，且该区间 $\sec t>0$。于是