当 $n\ge 2,b\ne 0$ 时：特征值 $1+(n-1)b$ 为一重，对应特征向量为 $c1,c\ne 0$；特征值 $1-b$ 为 $n-1$ 重，对应特征向量为 $v\ne 0,\sum _{i=1}^n{v}_i=0$。当 $b=0$ 时，唯一特征值为 $1$（重数 $n$），任意非零向量均为特征向量；当 $n=1$ 时亦只有特征值 $1$。

记 $1=(1,\dots ,1{)}^T$，$e_i$ 为标准基向量。可取 $P=(e_1-e_n,\dots ,e_{n-1}-e_n,1)$，使 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\underset{n-1}{\underbrace{1-b,\dots ,1-b}},1+(n-1)b)$；当 $n=1$ 时取 $P=(1)$。

令 $1=(1,\dots ,1{)}^T$、$J=11^T$，则 $A=(1-b)I+bJ$。因 $J1=n1$，有 $A1=[1+(n-1)b]1$。

设 $H=\{v:\sum _{i=1}^n{v}_i=0\}$。对 $v\in H$，有 $Jv=0$，故 $Av=(1-b)v$。又 $\dim H=n-1$，且 $1\notin H$，所以 ${\mathbb{R}}^n=H\oplus \mathrm{span}\{1\}$。

当 $n\ge 2,b\ne 0$ 时，两特征值之差为 $nb\ne 0$，因此 $1-b$ 的完整特征子空间为 $H$，重数为 $n-1$；$1+(n-1)b$ 的完整特征子空间为 $\mathrm{span}\{1\}$，重数为 $1$。各特征子空间中的非零向量即对应特征向量。

当 $b=0$ 时 $A=I$，两数合并为同一特征值 $1$，代数重数为 $n$，任意非零向量都是特征向量。若 $n=1$，则 $A=(1)$，结论同样直接成立。

沿用第一问的 $1=(1,\dots ,1{)}^T$ 及 $H=\{v\in {\mathbb{R}}^n:\sum _{i=1}^n{v}_i=0\}$，记 $e_i$ 为第 $i$ 个标准基向量。当 $n\ge 2$ 时，$e_i-e_n$（$1\le i\le n-1$）构成 $H$ 的一组基，加上 $1$ 后构成整个空间的一组基。因此

可逆。

按各列的特征值，有

该式在 $b=0$ 时仍成立，右端为 $I$；当 $n=1$ 时直接取 $P=(1)$。