2014 · 数学一 · 第 12 题 · 填空题

设

L

是柱面

x^{2} + y^{2} = 1

与平面

y + z = 0

的交线，从

z

轴正向往

z

轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

\oint_{L} z d x + y d z =

。

答案

$π$

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斯托克斯公式。取平面 $z = - y$ 上以 $L$ 为边界的椭圆盘 $Σ$ ，投影区域为单位圆盘 $D$ 。从上往下看 $L$ 为逆时针，按右手法则取上侧，故

n d S = (0, 1, 1) d x d y .

向量场为 $F = (z, 0, y)$ ，注意 $d y$ 的系数是零。其旋度为 $(R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) = (1, 1, 0)$ ，于是

I = \iint_{D} (1, 1, 0) \cdot (0, 1, 1) d x d y = \iint_{D} 1 d x d y = π .

直接参数化。令 $x = cos t, y = sin t, z = - sin t$ ， $t$ 从 $0$ 增至 $2 π$ ，正好符合题设俯视逆时针方向。因此

I = \int_{0}^{2 π} [(- sin t) (- sin t) + sin t (- cos t)] d t = \int_{0}^{2 π} sin^{2} t d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} sin 2 t d t = π .