1987 · 数学三 · 第 23 题 · 解答题

已知随机变量

Y

的概率密度为

f (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 y}{a ^{2}} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}}, 0, y > 0, y \leq 0,

求随机变量

Z = \frac{1}{Y}

的数学期望

E (Z)

。

答案

$E (Z) = \frac{π}{∣ a ∣}$ ；按通常参数约定 $a > 0$ 时为 $\frac{π}{a}$

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因 $Z = \frac{1}{Y}$ 且 $Y > 0$ ，有

E (Z) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} \frac{2 y}{a ^{2}} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}} d y = \frac{2}{a ^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}} d y .

令 $u = \frac{y}{∣ a ∣}$ ，则该积分为 $∣ a ∣ \int_{0}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = ∣ a ∣ \frac{π}{2}$ 。

故 $E (Z) = \frac{π}{∣ a ∣}$ 。若按尺度参数的通常约定取 $a > 0$ ，则写成 $\frac{π}{a}$ 。