（1）先证明根式内的增量趋于零。记

由于 $e^{3x}-1\to 0$，有 $\sqrt{1+f(x)\sin 2x}-1=L(x)(e^{3x}-1)\to 0$。因此根式趋于 $1$，平方后得 $f(x)\sin 2x\to 0$。这一步不预设 $f(x)$ 有极限。
（2）有理化并运用等价无穷小。记 $u(x)=f(x)\sin 2x\to 0$，则

由于 $\sqrt{1+u}+1\to 2$，结合 $e^{3x}-1\sim 3x$，可由恒等式

得左端极限为 $2\cdot 1\cdot 1=2$。此写法即根式增量与 $\frac{u}{2}$ 的等价替换，并避免预先假定未知函数的极限。
（3）分离 $f(x)$。由重要极限 $\frac{\sin 2x}{(2x)}\to 1$，且在充分小去心邻域内该比值非零，

因此 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=6$。