令 $g(x)=f(x,x)$。由链式法则以及题设关系，$g^{\prime }(x)=f_u^{\prime }(x,x)+f_v^{\prime }(x,x)=x^2$。

对 $y={\mathrm{e}}^{-2x}g(x)$ 求导，得 $y^{\prime }=-2{\mathrm{e}}^{-2x}g(x)+{\mathrm{e}}^{-2x}{g}^{\prime }(x)=-2y+x^2{\mathrm{e}}^{-2x}$。因此所求一阶微分方程为 $y^{\prime }+2y=x^2{\mathrm{e}}^{-2x}$。

将方程写为 $y^{\prime }+2y=x^2{\mathrm{e}}^{-2x}$，取积分因子 ${\mathrm{e}}^{2x}$。于是 ${\left({\mathrm{e}}^{2x}y\right)}^{\prime }=x^2$。

积分得到 ${\mathrm{e}}^{2x}y=\frac{x^3}{3}+C$，所以通解为 $y={\mathrm{e}}^{-2x}\left(\frac{x^3}{3}+C\right)$，其中 $C$ 为任意实常数。