定义域为 $x\in \mathbb{R},y>0$。有 $f_x=2x(2+y^2)$，所以临界点必须满足 $x=0$；再由 $f_y=2x^{2}y+\ln y+1=0$，得到 $y=e^{-1}$。

对任意 $y>0$，$x^2(2+y^2)\ge 0$，故 $f(x,y)\ge y\ln y$。函数 $h(y)=y\ln y$ 在 $y=e^{-1}$ 处取得全局最小值 $-e^{-1}$，且此时 $x=0$，所以全局最小值为 $-\frac{1}{e}$。

函数在开放定义域上可微，局部极值点必须为临界点；唯一临界点已是严格极小点，故不存在局部极大值。当 $|x|\to \infty$ 或 $y\to \infty$ 时，$f(x,y)\to +\infty$，因此不存在最大值。