在 $x+{\mathrm{e}}^y>0$ 的邻域内，

$$z=\exp (x\ln (x+{\mathrm{e}}^y)).$$

对 $x$ 求偏导，

$$\frac{\partial z}{\partial x}=z\left[\ln (x+{\mathrm{e}}^y)+\frac{x}{x+{\mathrm{e}}^y}\right].$$

在 $(x,y)=(1,0)$ 处，$z=2$，故

$${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(1,0)}=2\left(\ln 2+\frac{1}{2}\right)=1+2\ln 2.$$