2011 · 数学三 · 第 12 题 · 填空题

曲线在正半轴上的定义域为 $x \geq 1$ ，且与 $x$ 轴交于 $(1, 0)$ 。与直线 $x = 2$ 围成的有界区域为 $1 \leq x \leq 2$ 、 $0 \leq y \leq x^{2} - 1$ 。绕 $x$ 轴旋转的截面是半径 $x^{2} - 1$ 的实心圆盘，故

V = π \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x = π [\frac{x ^{3}}{3} - x]_{1}^{2} = π [(\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1)] = \frac{4 π}{3} .

答案