由 $|f(x)|\le \sqrt{|x|}$ 可知 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0=f(0)$，所以 $f$ 在 $0$ 处连续。

导数差商为

取使正弦分别等于 $1$ 和 $0$ 的趋零数列，差商分别无界和为零，故极限不存在，$f$ 在 $0$ 处不可导。应选 C。