设切点为 $M=(x_0,y_0,z_0)$。椭球在该点的切平面为

已知直线可参数化为 $(x,y,z)=(6,3,\frac{1}{2})+t(2,1,-1)$。

切平面包含该直线，故其法向量 $(x_0,2y_0,3z_0)$ 与直线方向垂直，并且平面经过 $(6,3,\frac{1}{2})$。于是

两式联立得 $z_0=2$，$x_0+y_0=3$。

再由切点在椭球面上，

得 $x_0^2+2y_0^2=9$。代入 $x_0=3-y_0$，得到 $3y_0(y_0-2)=0$，故切点为 $(3,0,2)$ 或 $(1,2,2)$。

分别代入切平面方程，得到