在原方程中令 $x=0$，由 $y(0)=0$ 得 $a+b=0$。对原方程关于 $x$ 求导，注意 $y=y(x)$，得到

代入 $x=0$、$y(0)=y^{\prime }(0)=0$，得 $a-1=0$，所以 $a=1$，再由 $a+b=0$ 得 $b=-1$。

由第（1）问 $a=1,b=-1$，令 $F(x,y)={\mathrm{e}}^x+y^2+y-\ln (1+x)\cos y-1$。该函数在 $(0,0)$ 附近光滑，且 $F_y(0,0)=1\ne 0$，所以由隐函数定理，给定可导函数在零点附近实际上光滑，可以求二阶导。
对第（1）问中的一次求导等式再求导，合并相同项得

在 $x=0$ 处，$y=y^{\prime }=0$、$\ln (1+x)=0$，代入后为 $1+y^{\prime \prime }(0)+1=0$，故 $y^{\prime \prime }(0)=-2<0$。又 $y^{\prime }(0)=0$，由二阶导数判别法，$x=0$ 是严格极大值点，极大值为 $y(0)=0$。

由 $y(0)=y^{\prime }(0)=0$ 及导数定义，$y(x)=o(x)$，故 $y^2=o(x^2)$，并且 $\cos y=1+O(y^2)=1+o(x^2)$。将 $a=1,b=-1$ 代回原方程，得 $y+y^2=\ln (1+x)\cos y-{\mathrm{e}}^x+1$。利用二阶展开，

因此 $y+y^2=-x^2+o(x^2)$。再用 $y^2=o(x^2)$，得 $y(x)=-x^2+o(x^2)$。充分接近 $0$ 且 $x\ne 0$ 时，$y(x)<0=y(0)$，故 $0$ 为严格极大值点。这里须使用 $y=o(x)$ 来控制余项，仅写 $\cos y=1+o(1)$ 不足以得到所需二阶展开。