2017 · 数学二 · 第 12 题 · 填空题

设函数

f (x, y)

具有一阶连续偏导数，且

d f (x, y) = y e^{y} d x + x (1 + y) e^{y} d y

，

f (0, 0) = 0

，则

f (x, y) =

。

答案

$x y e^{y}$

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比较全微分的系数，得 $f_{x} = y e^{y}$ 、 $f_{y} = x (1 + y) e^{y}$ 。两系数的交叉偏导均为 $(1 + y) e^{y}$ ，相容。
（1）关于 $x$ 积分，将 $y$ 视为参数，得到 $f (x, y) = x y e^{y} + φ (y)$ 。积分后的待定项可以依赖 $y$ ，不能直接写成常数。
（2）对上式关于 $y$ 求偏导，得 $f_{y} = x (1 + y) e^{y} + φ^{'} (y)$ 。与已知系数比较，得 $φ^{'} (y) = 0$ ，故 $φ (y) = C$ 。
（3）由 $f (0, 0) = 0$ 得 $C = 0$ ，所以 $f (x, y) = x y e^{y}$ 。代回两偏导及初值，均满足题设。

用乘积微分公式直接凑全微分。因为 $d (y e^{y}) = (1 + y) e^{y} d y$ ，所以

d f = y e^{y} d x + x d (y e^{y}) = d (x y e^{y}) .

故 $f = x y e^{y} + C$ ，代入 $f (0, 0) = 0$ 得 $C = 0$ ，即 $f (x, y) = x y e^{y}$ 。