由 $f_x>0$，固定 $y$ 时 $f$ 随 $x$ 严格递增；由 $f_y<0$，固定 $x$ 时 $f$ 随 $y$ 严格递减。插入中间点 $(x_1,y_2)$，分别对一元函数使用拉格朗日中值定理，得

其中 $\xi$ 介于 $x_1,x_2$ 之间，$\eta$ 介于 $y_1,y_2$ 之间。若 $x_1<x_2$ 且 $y_1>y_2$，右侧两项都为正，故所求严格不等式成立，D 是充分条件。
其余选项可用 $f(x,y)=x-y$ 排除，它满足全部题设。A 中取 $(x_1,y_1)=(1,0)$、$(x_2,y_2)=(0,1)$，函数值为 $1>-1$；B 中取 $(2,1)$、$(1,0)$，两值都为 $1$；C 中取 $(0,0)$、$(1,1)$，两值都为 $0$，均不能得到所求严格小于。
因此选 D。比较时要分段固定另一个变量；两方向作用相反时，仅凭偏导符号不能确定总变化的符号。