2003 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

对于任意二事件

A

和

B

，

0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1

，

ρ = \frac{P ( A B ) - P ( A ) P ( B )}{P ( A ) P ( B ) P ( A ˉ ) P ( B ˉ )}

称做事件

A

和

B

的相关系数。

(1) 证明事件 $A$ 和 $B$ 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；
(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明 $∣ ρ ∣ \leq 1$ 。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

证明见解析

解析

第 1 问

记 $p = P (A)$ 、 $q = P (B)$ 。由题设 $0 < p, q < 1$ ，所以 $pq (1 - p) (1 - q) > 0$ 。

因此 $ρ = 0$ 当且仅当 $P (A B) - P (A) P (B) = 0$ ，即 $P (A B) = P (A) P (B)$ 。这正是事件 $A$ 、 $B$ 独立的定义，故二者等价。

第 2 问

沿用第一问的 $p = P (A)$ 、 $q = P (B)$ 。记 $1_{A}$ 为事件 $A$ 发生时取 $1$ 、否则取 $0$ 的示性随机变量， $1_{B}$ 同理。令 $X = 1_{A}$ 、 $Y = 1_{B}$ ，则 $E (X) = p$ 、 $E (Y) = q$ ， $Var (X) = p (1 - p)$ 、 $Var (Y) = q (1 - q)$ ，且 $Cov (X, Y) = P (A B) - pq$ 。

对中心化变量 $(X - p)$ 和 $(Y - q)$ 使用柯西--施瓦茨不等式，得 $Cov^{2} (X, Y) \leq Var (X) Var (Y)$ 。

两边除以正数 $p (1 - p) q (1 - q)$ ，得到 $ρ^{2} \leq 1$ ，从而 $∣ ρ ∣ \leq 1$ 。