令连接 $A,B$ 的直线函数为 $L(x)=f(0)+x[f(1)-f(0)]$，并设 $g(x)=f(x)-L(x)$。因 $A,B,C$ 共线，故 $g(0)=g(c)=g(1)=0$。

分别在 $[0,c]$ 与 $[c,1]$ 上应用罗尔定理，存在 $u\in (0,c)$、$v\in (c,1)$，使 $g^{\prime }(u)=g^{\prime }(v)=0$。

由于 $g^{\prime }$ 在 $[u,v]$ 上连续并在 $(u,v)$ 内可导，再对 $g^{\prime }$ 应用罗尔定理，存在 $\xi \in (u,v)\subset (0,1)$，使 $g^{\prime \prime }(\xi )=0$。又 $L^{\prime \prime }=0$，所以 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )=0$。