定义域排除 $x=0,1$，其余点处函数连续。

当 $x\to 0$ 时，$\ln |x|\sin x\to 0$，且 $|x-1|\to 1$，所以极限为 $0$；在 $x=0$ 处是可去间断点。

当 $x\to 1^{-}$ 时 $f(x)\to -\sin 1$，当 $x\to 1^{+}$ 时 $f(x)\to \sin 1$，左右极限不等且有限，因此 $x=1$ 是跳跃间断点。故选 $A$。