令 $u=x+y$，$v=x$，则 $x=v$，$y=u-v$，雅可比行列式为 $-1$，绝对值为 $1$。区域 $D_t$ 化为 $0\le u\le t$，$0\le v\le u$，故

右端的 $f(t)$ 与积分变量无关，而 $D_t$ 的面积为 $\frac{t^2}{2}$。因此题设等价于

由 $f$ 有连续导数，可对 $t$ 求导，得 $t{f}^{\prime }(t)=tf(t)+\frac{t^2{f}^{\prime }(t)}{2}$。在 $0<t<1$ 上约去 $t$，整理为 $(2-t)f^{\prime }(t)=2f(t)$。
为避免未经说明直接除以 $f(t)$，将方程写为 $[(2-t{)}^{2}f(t){]}^{\prime }=0$，得到 $f(t)=\frac{C}{(2-t{)}^2}$。由连续性及 $f(0)=1$，得 $C=4$，故 $f(x)=\frac{4}{(2-x{)}^2}$，$0\le x\le 1$。
代回核对：$f^{\prime }(u)=\frac{8}{(2-u{)}^3}$，于是

且 $f(0)=1$，故满足原积分方程和初值。