1996 · 数学三 · 第 4 题 · 填空题

设

A = 1 a_{1} a_{1}^{2} ⋮ a_{1}^{n - 1} 1 a_{2} a_{2}^{2} ⋮ a_{2}^{n - 1} 1 a_{3} a_{3}^{2} ⋮ a_{3}^{n - 1} \dots \dots \dots \dots 1 a_{n} a_{n}^{2} ⋮ a_{n}^{n - 1}

，

X = x_{1} x_{2} x_{3} ⋮ x_{n}

，

B = 111 ⋮ 1

，其中

a_{i} \neq = a_{j}

（

i \neq = j; i, j = 1, 2, \dots, n

）。则线性方程组

A^{T} X = B

的解是。

答案

$X = (1, 0, \dots, 0)^{T}$

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方程组的第 $i$ 个方程为

x_{1} + a_{i} x_{2} + \dots + a_{i}^{n - 1} x_{n} = 1 (i = 1, \dots, n) .

令 $P (t) = x_{1} - 1 + x_{2} t + \dots + x_{n} t^{n - 1}$ 。它的次数不超过 $n - 1$ ，却有互异的 $n$ 个根 $a_{1}, \dots, a_{n}$ ，故 $P \equiv 0$ 。因此 $x_{1} = 1$ ，且 $x_{2} = \dots = x_{n} = 0$ 。