驻点满足 $f^{\prime }(t)=a^t\ln a-a=0$。因 $a>1$，驻点唯一，且 $t(a)=1-\frac{\ln (\ln a)}{\ln a}$。

令 $u=\ln a>0$，则 $t(a)=1-\frac{\ln u}{u}$，而 ${\left(\frac{\ln u}{u}\right)}^{\prime }=\frac{1-\ln u}{u^2}$。所以 $\frac{\ln u}{u}$ 在 $u=\mathrm{e}$ 处取得最大值 $\frac{1}{\mathrm{e}}$。

因此 $u=\mathrm{e}$，即 $a={\mathrm{e}}^{\mathrm{e}}$ 时 $t(a)$ 最小，最小值为 $1-{\mathrm{e}}^{-1}$。