（1）设 $P=(x,y)$。切线方程为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$，令 $X=0$ 得纵截距 $Y_P=y-x{y}^{\prime }$。法线可写成 $(X-x)+y^{\prime }(Y-y)=0$，这种写法在 $y^{\prime }=0$ 时也成立；令 $Y=0$ 得横截距 $X_P=x+y{y}^{\prime }$。
由 $X_P=Y_P$，得 $(x+y)y^{\prime }=y-x$。若 $x+y=0$，右端为 $-2x\ne 0$，矛盾，所以整个题设区间内均有 $x+y\ne 0$，可写成 $y^{\prime }=\frac{(y-x)}{(x+y)}$。
（2）因右端为齐次式且 $x>0$，令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$、$y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$。代入整理得

因 $u^2+1>0$、$u+1\ne 0$，分离变量，得 $(u+1)\frac{\mathrm{d}u}{(u^2+1)}=-\frac{\mathrm{d}x}{x}$。拆成 $\frac{u}{(u^2+1)}$ 与 $\frac{1}{(u^2+1)}$ 两项积分，得到

（3）换回 $u=\frac{y}{x}$，由 $x>0$，对数合并为 $\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)$。再由 $y(1)=0$ 得 $C=0$，故所求方程为

（4）核对：记左端为 $\Phi$，则 ${\Phi }_x=\frac{2(x-y)}{(x^2+y^2)}$、${\Phi }_y=\frac{2(x+y)}{(x^2+y^2)}$，所以隐函数导数为 $-\frac{{\Phi }_x}{{\Phi }_y}=\frac{(y-x)}{(x+y)}$，恢复截距条件；点 $(1,0)$ 也满足方程。应取经过该点且 $x+y>0$ 的曲线支，正号由连续性及 $x+y$ 不为零保证。