令 $F(x)=x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x-1-\frac{x^2}{2}$。在 $(-1,1)$ 内对数真数为正，且 $\ln \frac{1-x}{1+x}=-\ln \frac{1+x}{1-x}$，所以 $F$ 为偶函数，只需对 $0\le x<1$ 证明 $F(x)\ge 0$。
有 $F(0)=0$，求导得

对 $0<x<1$，令 $g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}-2x$，则 $g(0)=0$，$g^{\prime }(x)=\frac{2x^2}{1-x^2}>0$，故 $\ln \frac{1+x}{1-x}>2x$。又 $\frac{2x}{(1-x^2)}>2x$，并由 $x-\sin x$ 在 $[0,1)$ 上导数为 $1-\cos x\ge 0$，得到 $\sin x\le x$。于是 $F^{\prime }(x)>2x+2x-x-x=2x>0$。
所以 $F(x)>F(0)=0$（$0<x<1$）。由偶性，负半区间也有 $F(x)>0$；在 $x=0$ 时等号成立。因此原不等式对 $-1<x<1$ 恒成立，且等号仅在 $x=0$ 取得。

分别估计对数项与余弦项。令 $g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}-2x$，有 $g(0)=0$，$g^{\prime }(x)=\frac{2x^2}{1-x^2}\ge 0$（$-1<x<1$）。因此 $x\ge 0$ 时 $g(x)\ge 0$，$x\le 0$ 时 $g(x)\le 0$，两种情况均有 $xg(x)\ge 0$，即 $x\ln \frac{1+x}{1-x}\ge 2x^2$。
再令 $h(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$，它为偶函数且 $h(0)=0$。在 $x\ge 0$ 时，$h^{\prime }(x)=x-\sin x\ge 0$，因为 $(x-\sin x{)}^{\prime }=1-\cos x\ge 0$ 且零点处函数值为零。因此 $h(x)\ge 0$，由偶性此结论对所有实数成立，即 $\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}$。
两式相加，得到

当 $x\ne 0$ 时最后一步严格大于，故等号仅在 $x=0$ 取得。