A 错误。取 $a_n=1+\frac{1}{n}$，它正且严格递减，但 $a_n\to 1$，交错级数通项不趋于零，所以发散。仅单调递减不足以使用莱布尼茨判别法。
B 错误。取 $a_n=\frac{[2+(-1{)}^n]}{2^n}>0$，则 $a_1=\frac{1}{2}<a_2=\frac{3}{4}$，不满足严格递减；但 $a_n\le \frac{3}{2^n}$，故 $\sum a_n$ 收敛，从而题给交错级数绝对收敛。
C 错误。取 $a_1=1$，$n\ge 2$ 时 $a_n=\frac{1}{[n(\ln n{)}^2]}$。该正函数在 $x\ge 2$ 上递减，且

由积分判别法 $\sum a_n$ 收敛。但对任何 $p>1$，$n^p{a}_n=\frac{n^{p-1}}{(\ln n{)}^2}\to +\infty$，不存在有限极限。
D 正确。若某个 $p>1$ 使 $n^p{a}_n$ 有有限极限，则该数列有界，存在 $M>0$ 使 $0<a_n\le \frac{M}{n^p}$。由 $p$ 级数收敛及比较判别法，$\sum a_n$ 收敛。因此选 D；这里“极限存在”指有限极限。