令 $t={\mathrm{e}}^{x-1}$，则 $dx=\frac{dt}{t}$，且 $x:1\to +\infty$ 对应 $t:1\to +\infty$。因此

$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2-x}}=\frac{1}{\mathrm{e}}{\int }_1^{+\infty }\frac{dt}{1+t^2}.$$

故积分为 $\frac{1}{\mathrm{e}}[\arctan t{]}_1^{+\infty }=\frac{\pi }{4\mathrm{e}}$。