非齐次线性方程任意两个解之差都是对应齐次方程的解。由 $y_1-y_3={\mathrm{e}}^{-x}$，且结合 $y_3-y_2={\mathrm{e}}^{2x}-2{\mathrm{e}}^{-x}$，可知 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 与 ${\mathrm{e}}^{2x}$ 是齐次方程的一组基本解。

记 $D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$。故规范化的齐次算子为 $D^2-D-2$，即齐次方程为 $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=0$。

取三个已知解中的共同非齐次部分 $y_p=x{\mathrm{e}}^x$。计算得

因此所求方程为 $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=(1-2x){\mathrm{e}}^x$。