记原幂函数的对数为 $L_x=\frac{2}{x}\ln (1+\ln (1+x))$。当 $x\to 0$ 时底数在 $1$ 附近为正，可以取对数。

由 $\ln (1+\ln (1+x))\sim \ln (1+x)\sim x$，得 $L_x\to 2$。

所以原极限等于 ${\mathrm{e}}^2$。