矩阵等价意味着存在可逆矩阵 $P,Q$ 使 $B=PAQ$，所以 $|B|=|P||Q||A|$。因此 $|A|=0$ 当且仅当 $|B|=0$。

非零行列式的具体数值会被 $|P||Q|$ 改变，不能保证等于 $a$ 或 $-a$；故必然成立的只有 $|A|=0$ 时 $|B|=0$，选 D。