在极坐标中，$x^2+y^2\le 2x$ 化为 $0\le \rho \le 2\cos \theta$，条件 $y\ge x$ 给出 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$。该区域位于直线 $x=2$ 左侧。

面积微元 $\mathrm{d}A=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$ 绕 $x=2$ 旋转时的半径为 $2-x=2-\rho \cos \theta$。由柱壳公式，

先对 $\rho$ 积分，得

故 $V=\frac{{\pi }^2}{2}-\frac{2\pi }{3}$。