1996 · 数学三 · 第 4 题 · 填空题

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阶行列式

1 - a - 1 000 a 1 - a - 1 00 0 a 1 - a - 1 0 00 a 1 - a - 1 000 a 1 - a =

。

答案

$1 - a + a^{2} - a^{3} + a^{4} - a^{5}$

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记同型 $n$ 阶行列式为 $D_{n}$ ，并取 $D_{0} = 1$ 。沿末行（或末列）展开可得

D_{n} = (1 - a) D_{n - 1} + a D_{n - 2}, D_{1} = 1 - a .

由递推式归纳得到

D_{n} = 1 - a + a^{2} - \dots + (- a)^{n} .

因此

D_{5} = 1 - a + a^{2} - a^{3} + a^{4} - a^{5} .