在点 $P(x,y,z)$ 处的切平面为 $xX+yY+2zZ=2$，故原点到该平面的距离为 $\rho =\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2+4z^2}}$。

令 $r^2=x^2+y^2$。上半椭球是 $z=\sqrt{1-\frac{r^2}{2}}$，其投影域为 $D:r\le \sqrt{2}$。在 $z>0$ 的曲面内部，$dS=\frac{\sqrt{4-r^2}}{2z}dxdy$，且 $\sqrt{x^2+y^2+4z^2}=\sqrt{4-r^2}$。

因此 $\frac{z}{\rho }dS=(1-\frac{r^2}{4})dxdy$。转为极坐标后，积分为 $2\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}(1-\frac{r^2}{4})rdr=\frac{3\pi }{2}$。 边界 $z=0$ 的曲面面积测度为零，且化简后的投影被积函数连续延拓到 $D$ 的边界，因此可在整个投影域上积分。