1994 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养

x

万尾，乙种鱼放养

y

万尾，收获时两种鱼的收获量分别为

(3 - α x - β y) x

和

(4 - β x - 2 α y) y

，其中

α > β > 0

。求使产鱼总量最大的放养数。

答案

$x = \frac{3 α - 2 β}{2 α ^{2} - β ^{2}}, y = \frac{4 α - 3 β}{2 ( 2 α ^{2} - β ^{2} )}$ （万尾）

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产鱼总量为

T (x, y) = 3 x + 4 y - α x^{2} - 2 β x y - 2 α y^{2} .

令一阶偏导数为零，得

α x + β y = \frac{3}{2}, β x + 2 α y = 2.

因为 $2 α^{2} - β^{2} > 0$ ，解得

x = \frac{3 α - 2 β}{2 α ^{2} - β ^{2}}, y = \frac{4 α - 3 β}{2 ( 2 α ^{2} - β ^{2} )} .

由 $α > β > 0$ ，二者均为正。

$T$ 的 Hessian 矩阵为

H = (- 2 α - 2 β - 2 β - 4 α) .

其第一顺序主子式为负，行列式为 $4 (2 α^{2} - β^{2}) > 0$ ，故 $H$ 负定。因此该驻点是唯一的最大值点，即上述放养数使总产量最大。