方程是二阶常系数齐次线性方程，特征方程为 $r^2-r+\frac{1}{4}=0$。因判别式为 $1-4\times \frac{1}{4}=0$，可写成 $(r-\frac{1}{2}{)}^2=0$，得到二重实根 $r=\frac{1}{2}$。

重根对应两个线性无关解 ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}$ 与 $x{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}$，故通解为 $y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}$，其中 $C_1,C_2$ 为任意常数。

核对第二个解：若 $y=x{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}$，则 $y^{\prime }=(1+\frac{x}{2}){\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}$、$y^{\prime \prime }=(1+\frac{x}{4}){\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}$，代入得 $y^{\prime \prime }-y^{\prime }+\frac{y}{4}=[1+\frac{x}{4}-(1+\frac{x}{2})+\frac{x}{4}]{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}=0$。第一个解直接代入也成立；两者比值为 $x$，非常数，故线性无关。